반도체 소자 #2 - Effective mass / Drift / Diffusion

유효질량

 

전자들이 결정체내에서 이동할 경우에는 자유공간과는 다르게 행동하는데, 이때 전자들은 외부 전계의 힘과 결정체 내에 존재하는 원자들의 주기적 전위로부터 만들어지는 전계에 의한 힘도 받는다.

내부전계효과를 포함시켰을 때의 결정체 속의 전자를 자유공간에서의 질량 m이 아닌 새로운 질량 m*을 가진 고전적 입자로 바꾼다. 이것은 외부전장의 속도(eε)에 대한 뉴턴법칙을 그대로 적용하여 외부전계와 결정체 내에 전자가 받는 힘의 관계를 나타낼 수 있다. 이때 이 질량 m* 속에 내부 전계가 들어 있으며 이 질량을 유효질량 (Effective mass)라고 부른다.

결정체 내에서 전자의 유효질량 (F = -e*epsilon;)

 

표동운동(Drift motion)

 

반도체에 전류를 흐르게 하는 두가지 요인이 있는데, 그중 하나인 표동(drift)에 대해 살펴보도록 하겠다.

반도체 내에서 전자들의 이동 경로는 외부 전계의 영향을 받는데, 이때 외부에서 가한 전계가 있는 경우와 없는 경우가 존재한다. 

외부 전계가 없는 전자의 이동

위에서 본 그림과 같이 외부전계가 없는경우 전자는 단지 열에너지에 의한 무질서운동(Random motion)을 하는 모양으로 제시된다.

외부 전계가 있는 전자의 이동

외부에서 전계가 가해졌을 때 전자는 전계의 방향으로 이동한다는 것을 알 수 있다. 전계 ε 가 x 방향으로 주어질 경우 다음과 같은 식이 성립한다. 

m*dVs/dt =-eε 

이식을 시간에 따라 적분하면 다음과 같다.

Vx = -eεt/m*

 

여기서 Vxo는 전계가 가해지기 전의 초기속도 이므로 0이고, 결정격자나 불순물, 결정결함 및 다른 전자들과의 충돌로 인하여 제한된 값을 갖게 된다. 따라서 평균충돌시간을 τ라고하면 전자의 평균속도는 다음과 같다.

<Vx> = -μ(e)E

여기서 -μ(n)을 전자이동도(Electron mobility) 라고 한다.

 

표동운동에 의해 발생하는 전류밀도는 전하와 단위시간당 단위면적을 통과하여 전계에 의해 이동해가는 전자들의 수 n<Vx>를 곱한 것이므로

Jx = -qn<Vx> = qμ(e)nE = σE 

 

이때 σ을 전기전도도(Electrical conductivity)라 부른다. σ의 단위는 1/(Ωcm) 이며 이것의 역수인 ρ를 비저항 혹은 저항률이라 부르며 단위는 (Ωcm)이다.

 

전류밀도는 인가된 전계에 비례한다. 만야 반도체 내에 움직이는 반송자가 전자, 정공 모두 존재한다면 식은

μen대신 μ(e)n+μ(p)p전체 전류밀도로 다시 나타낼수 있다.

Jtotal,drift = Je + Jp = qμ(e)nE + qμ(p)PE

σ = qμ(e)n + qμ(p)P

 

 

캐리어 산란 현상

 

반도체 내의 산란 현상에는 도핑 농도에 따라 두가지의 산란으로 구분되어 진다.

1. 불순물이온 산란(Ionized impurity scattering)

도핑 농도가 클때 지배적인 산란이며, 온도가 증가할 경우 열운동이 증가하기 때문에 불순물이온에 머무르는 시간이 작아지게 된다. 다시말해서 온도와 이동도는 비례관계를 가지는 산란이다.

2. 격자 산란(Lattice scattering)

도핑 농도가 작을때 지배적인 산란이며, 온도가 높아질수록 격자 진동이 커지기 때문에 격자 산란이 커진다.

다시말해서 온도와 이동도는 반비례관계를 가지는 산란이다.

 

 

온도에 따른 각 산란의 이동도 변화 그래프

 

확산(Diffusion)

 

확산은 입자의 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하여 균일한 분포를 가지려는 현상을 말한다. 이러한 확산 성질은 반도체 내에 있는 반송자들(전자, 정공) 역시 이와 같은 무작위 열확산운동을 하면서 농도감소영역을 향하여 이동해 간다. 그리고 이러한 확산 현상은 픽의 법칙(Fick's Law)를 통해 서술하면 다음과 같다.

픽의 제1법칙은 확산량(J, flux)를 확산계수(D, diffusion coefficient)와 단위 거리당 농도차(dφ/dx)를 이용하여 표현하는 식을 완성하는 것이다.

 

 

 

여기서 확산계수(D)는 membrane의 종류에 따라 결정되는 고유한 값이다. 해당 재질에 대해 단위 면적(1㎠), 단위 시간(1초), 단위 두께(1cm) 조건에서 얼마나 많은 양이 이동했는지 측정된 것이기 때문에 단위는 ㎠/s이다. 

그리고 이런 Diffusion current를 반송자들에 따라 나누면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

여기서 J(h) 값에만 -가 붙는 이유는 diffusion을 통해 농도가 감소하는 방향으로 이동해야하는데, J(e)의 경우 전하값이 -를 띄기 때문에 -가 상쇄되어 지고, J(h)만 음의 값을 띄는 것처럼 보여지게 된다.